对角论证法是格奥尔格·康托尔提出的用于说明实数集合是不可数集的证明。
对角线法并非康托关于实数不可数的第一个证明，而是发表在他第一个证明的三年后。他的第一个证明既未用到十进制展开也未用到任何其它数字系统。自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证明中都用到了类似的证明构造方法。
简介
对角论证法证明实数集合为不可数集
康托的原始证明表明区间[0，1]中的点数不是可数无穷大。该证明是用反证法完成的，步骤如下：
1.假设(从原题中得出)区间[0，1]中的点数是可数无穷大的
2.于是乎我们可以把所有在这区间内的数字排成数列, (r1,r2,r3,...)
3.已知每一个这类的数字都能以小数形式表达
4.我们把这些数字排成数列(这些数字不需按序排列; 事实上，有些可数集, 例如有理数也不能按照数字的大小把他们全数排序，但单只是成数列就没有问题的)在部份有多种表达形式的数字上，例如0.499 = 0.500, 我们选择前者.
5.如果该数列小数形式表现如下:
r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0
r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3
r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6
r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6
r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6
r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8
r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5...
6.考虑rk小数点后的第k个位，为了方便起见, 我们底间并粗体这些数字，从下图你应明白为什么这个证明被称为对角论证法
r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0
r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3
r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6
r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6
r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6
r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8
r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5...
7.我们设一实数x, 其中x是以以下的方式定义的
如果rk的第k个小数位等于5,那么x的第k个小数位是4
如果rk的第k个小数位不等于5,那么x的第k个小数位是5
8.明显地x是一个在区间[0，1]内的实数，以之前的数为例, 则相对应的x应为 0 . 4 5.5 5 5 5 4
9.由于我们假设(r1,r2,r3,...)包括了所有区间[0, 1]内的实数，所以一定有一个rn =x
10.但由于x的特殊的定义，这使得x和rn的第n个小数位是不同的，所以x 不属于(r1,r2,r3,... )
11.所以(r1,r2,r3,...)并不能罗列所有区间[0, 1]内的实数，这发生了矛盾。
12.所以在第一点内所提出的假设"区间[0，1]中的点数是可数无穷大的"是不成立的。
参考资料 >